介質中的靜電學

　　討論某一介質分布在外電場作用下產生極性，引進極化強度向量V[P]之觀念，V[P]表示的是每單位體積之介質，因外加電場作用所產生的電偶極。極性的產生使介質內部形成束縛體電荷密度ρb＝－▽．V[P]，介質表面形成束縛面電荷密度σb＝V[n]．V[P]。考慮極化強度後，Gauss定律形式變的複雜，所以常引入電位移向量V[D]＝(1/4πk)V[E]＋V[P]，讓形式簡單些。
　　介質中的靜電學為：▽．V[D]＝ρf與▽×V[E]＝0，其中ρf稱為系統的自由電荷分布，是任意給定的與外電場無關。所以理論上找出介質中的電位移向量是較方便的。但實驗室中測系統的電位差比求自由電荷量容易，所以實驗室中求系統的靜電場較容易。
　　在兩介質交界面上有V[n]×[V[E1]－V[E2]]＝0與V[n]．[V[D1]－V[D2]]＝σf，其中σf為交界面上的自由面電荷分布。介質中的靜電場U＝[∫all] V[D]．V[E]dV。
　　極化強度向量V[P]，在介質中的靜電學扮演著相當重要的角色。描述V[P]之具體形式，常引入極化係數χe，一般是二階張量，可藉由分析χe之情況，如：線性或非線性、各向同性或各向異性與均勻或非均勻等介質情況等，來適時化簡，但仍要視具體情況而定。

2009-03-25亥時

靜電位能

　　由Coulomb靜電力與功能原理dW＝－dU，取無限遠處位能與電位為零，則有靜電位能U(V[r])＝qV(V[r])。對放在原點之點電荷Q，在空間建立的電位為V＝kQ/r，故點電荷q在r處受到Q作用之靜電位能為U＝kqQ/r。
　　現在假設所有點電荷相距無限遠，彼此互不影響，在空間中定出一個直角座標系。先由無限遠處緩慢移來一點電荷，標記為q1，靜置(相對座標系靜止)在V[r1]位置上。再由無限遠處，緩慢移來點電荷q2靜置於V[r2]位置上，則q1與q2間的靜電位能為U＝kq1q2/r21，其中r21＝| V[r2]－V[r1]|為q1與q2間的距離。即我們反抗靜電力所作的功，化成Coulomb靜電位能U儲存起來。現在再由無限遠處，緩慢移來一點電荷q3，靜置於與q1、q2分別相距r31、r32，則其間儲存的靜電位能為U＝kq1q2/r21＋kq3q2/r32＋kq3q1/r31。
　　故如由無限遠處緩慢移來N個點電荷，則系統的總靜電位能為U＝1/2[ΣΣ`]kqiqj/rij。可將所有j≠i的電荷對qi之作用記為Vi，即Vi＝[Σj,1~N]`kqj/rij，所以有U＝1/2[Σi,1~ N]qiVi。因為qi與qj有正有負，故U可以大於零、等於零或小於零。
　　將靜電位能推廣到連續分布時，U＝1/2∫ρ(V[r])V(V[r])dV，對電荷分布區域作積分。進一步整理可得到U＝2πk [∫all]|V[E(V[r])]|^2dV，其中[∫all]( )dV表示對整個空間積分。而此結果恆大於等於零，是非負的。而推導之過程是由離散情況而來，為何會得到此一結果？而此是古典電磁學會讓人疑惑的地方之一。
　　原因在於，離散時看的是相互間的作用，沒有討論電荷對自己之作用，而連續分布在積分時，一定會積分到自己對自己的作用！討論各電荷分布相互靠的近時之情況，形成連續分布之整體表象。對單一點電荷時，得到靜電位能U＝∞，因為我們以無限遠處為零，點電荷靜電場為1/r^2之形式，故自我作用之情況被無限的放大了！以上也只是自己多年來的結論，也許仍有缺失，因為無限大總是教人疑惑。

2009-03-23申時

交界面情況

　　假設空間存在一個面電荷分佈σ之交界面，並令此面以上的區域為區域1，以下為區域2。如區域1有靜電場V[E1]，區域2有靜電場V[E2]。因為考慮的是靜電場情況，故最終面電荷分佈會達成靜力平衡而靜止，故如平行交界面之靜電場分量不相等，將在平行交界面之方向產生淨靜電力使電荷移動，電荷未靜止為非靜電場。所以在靜電場平衡時，交界面上某一點之靜電場滿足：V[[E1]||－V[E2]||＝0，即平行交界面之靜電場分量連續；E1⊥－E2⊥＝4πkσ，即垂直交界面之靜電場分量不連續。如以V[n]為交界面之法向量，指向區域1，則此二式可表示成V[n]×[V[E1]－V[E2]]＝0與V[n]．[V[E1]－V[E2]]＝4πkσ。

2009-03-18酉時

靜電學之內容

　　靜電學之理論基礎有以下三種等價表示：第一種為V[E(V[r])]＝k∫ρ(V[r]`)V[G(V[r],V[r]`)]dV`與V[F]＝qV[E]；第二種為▽．V[E]＝4πkρ與▽×V[E]＝0，V[E]可線性疊加與V[F]＝qV[E]；第三種為▽^2V＝－4πkρ與V[F]＝－q▽V。即靜電學的核心為解出靜電場V[E]或靜電位V。
　　理論之一般形式知道後，剩下的必須看具體內容來解。最直接的就是求靜電場的積分。如果考慮的系統有高度的對稱性，則可利用：∮V[E]．dV[S]＝4πkQ，較容易求出系統的電場。
　　由V[E]＝－▽V，可定義V＝－[∫∞~V[r]] V[E]．dV[r]`，故知V[E]可求出靜電勢V。一般有
ΔV＝[∫＋~－] V[E]．dV[r]>0，常稱ΔV為電位差或電壓。
　　因為靜電勢是純量函數，比向量函數電場更方便與容易處理，所以只要可以求V，則可由V[E]＝－▽V來求出靜電場。由Poisson方程：▽^2V＝－4πkρ，解形式V(V[r])＝k∫ρ(V[r]`)/|V[r]－V[r]`|dV`。所以可直接積分解V，或解Poisson方程，並藉由唯一性定理來保證解的存在與唯一。也可用鏡像法來猜出解的形式，但不容易猜出。如果考慮的區域遠離電荷分部區域的話，可利用電多極展開將積分化成電荷、電偶極、電四極與電八極等的來近似描述。

2009-03-12未時

Coulomb定律與靜電場

　　從自然界的閃電現象，到摩擦帶電的靜電現象，開啟了人們研究電現象的興趣。Coulomb提出點電荷Q作用在q上的Coulomb靜電力為V[F]＝kQqV[er]/r^2，其中r為Q與q間的距離，V[er]為Q到q之方向，稱為Coulomb定律。為類似萬有引力之形式。
　　Q在空間所建立的靜電場可定義為V[E]＝[Lim(|q|→0)]V[F]/|q|。取|q|趨近於零是為了不使q的存在影響Q的電場分布。以前總是很簡單的將q移去，就很自然的得到Q的電場分布，而其實是藉由測試電荷q的受力，來求出Q的電場分布的。
　　因Coulomb靜電力為向量，故靜電場也是向量，所以都是可線性疊加的物理量。知道了單一點電荷的電場形式，對多個離散的點電荷系統，在二體力的假設下，也可做類似的描述。即可分別作分析後，再整個加起來，而不必很複雜的一起考慮。也就是說電場適用重疊原理。
　　如空間中某區域R之點電荷分布相當密集，則可近似看成連續，並以電荷密度ρ(V[r]`)來描述，此時的靜電場為V[E]＝k∫ρ(V[r]`)V[G(V[r],V[r]`)]dV`，其中V[G(V[r],V[r]`)]＝－▽(1/| V[r]－V[r]`|)，且積分∫()dV`為對變數V[r]`所在區域R的體積分，V[r]`描述電荷的分布情況，稱為源點，V[r] 描述電荷的分布以外的空間中某一點，稱為場點。此積分形式已應用了Coulomb定律與重疊原理。
　　上述靜電場的積分形式，在數學上為▽．V[E]＝4πkρ與▽×V[E]＝0之解形式。此可由Helmholtz唯一性定理來了解。▽．V[E]＝4πkρ，即Gauss定律(微分形式)，說明靜電場以ρ為源。其積分形式為∮V[E]．dV[S]＝4πkQ，∮()．dV[S]表示為Gauss封閉曲面之積分，Q為封閉曲面內之淨電荷量。由▽×V[E]＝0，說明靜電為無旋場，且有V[E]＝－▽V，其中V稱為靜電勢或靜電位為純量函數，負號的物理意義為：電荷在無其他外力作用下，恆由高電位往低電位移動。所以，▽^2V＝－4πkρ，其中▽^2＝▽．▽稱為Laplace算符。而靜電勢V之引入，在古典電磁學中，純粹是數學上引進的變量，本身並不是物理量。有實質意義的是電位差(電壓)。

2009-03-10亥時

向量微分運算子

　　▽稱為向量微分運算子，一般在直角座標下定義，也有一個以積分式與極限表示的一般定義。▽向右作用於純量函數與向量函數。
　　▽與純量函數Ψ之作用稱為Ψ之梯度(gradient)，記為gradΨ或▽Ψ，為向量函數。梯度的意義為：純量函數Ψ在空間中某一點的最大改變量與指向。
　　▽與向量函數V[F]之作用有二種：散度(divergence)與旋度(curl)。
　　▽與向量函數V[F]之內積稱為V[F]之散度，記為divV[F]或▽．V[F]，為純量函數，其意義為：V[F]在空間中某一點附近，單位體積的總通量變化。
　　▽與向量函數V[F]之外積作用稱為V[F]之旋度，記為curlV[F]或▽×V[F]，為向量函數，其意義為：V[F]在空間中某一點附近，單位面積的最大環流量與指向。
　　其組合有以下兩個有趣的恆等式：▽×(▽Ψ)＝0與▽．(▽×V[F])＝0。在物理上有其重要的意義。

君不見 2009-03-06申時

向量代數

　　向量在數學上有嚴謹的定義：「和位置向量作相同的旋轉變換，而仍維持長度不變的量稱為向量。」向量的基本性質：向量可以藉由相加減、乘上某個實數伸縮或反向、互向交換加減之順序等，來得到其他向量。
　　將一個向量除以其長度，稱為向量的歸一化，所得到的向量稱為單位向量，其意義就是該向量的方向。
　　兩個向量V[A]與V[B]的乘法有：內積(點積或純量積)定義為V[A]．V[B]。表示一向量在另一向量上的分量或投影量，為純量與作用次序無關，即V[A]．V[B]＝V[B]．V[A]。外積(叉積或向量積)定義為V[A]×V[B]。大小表示以此二向量為菱的平行四邊形面積，方向為此二向量所在平面之法線方向(由右手定則決定)，為向量與作用次序有關，即V[A]×V[B]＝－V[B]×V[A]。
　　三個向量的乘法，最基本的有：V[A]．(V[B]×V[C])，為一個純量，其大小表示以此三向量長度為菱的平行六面體體積。所以說如這三個向量共平面，其值為零。V[A]×(V[B]×V[C])＝V[B](V[A]．V[C])－V[C](V[A]．V[B])，常用來簡化等式之運算。

君不見 2009-03-05亥時

三維Euclid空間

　　在紙上畫出一直線，不妨將直線右邊定義為正並畫上→，將此考慮方向性的直線稱為射線。在箭頭右方標上x，此射線稱為x軸線。紙上可形象式的畫出與x軸相互垂直的另外兩個軸線，不妨稱為y軸與z軸。此三軸線之方向選取，滿足Ampère右手定則：將右手四指指向x軸，轉向y軸，大拇指之方向即z軸方向。並將三軸之交點記為O稱為原點，如此形成一個三維直角座標系，即三維Euclid空間。
　　Euclid空間中某一點P可以(x,y,z)描述，與原點O的距離定義為r＝(x^2＋y^2＋z^2)^(1/2)，以O看向P的方向，定義為P點之方向，將度量r與方向一起考慮的量定義為空間中某一點P之位置向量，記為V[r]。而r稱為位置向量之長度(或大小或量值或模量)，且V[r]之單位向量V[er]＝V[r]/r。向量簡單來說就是考慮方向性與度量的量。一般分成可圖示的幾何向量與抽象的解析向量。

君不見 2009-03-03 亥時

序

　　為使物理的世界中的文章更精簡，一些數學上的專業術語不得不另外介紹。而此主要就是介紹一些數學名詞為主的文章。只有概念性的介紹，不會涉及太深入與抽象的定義與描述。

君不見 2009-03-03 亥時

旋轉座標系

　　一般如地球等的星體，有自轉與公轉運動，所以討論在運動剛體上的力學現象是需要的，所以要建立旋轉座標系。假設一個慣性座標系S，R相對於S旋轉與運動，稱為旋轉座標系。
　　在S中看系統R中某一點的時間變化，除了移動運動的變化外，還多了旋轉運動造成的變化。即慣性座標系S的時間微分作用＝旋轉座標系R的時間微分作用＋旋轉座標系R的角速度向量ω的外積作用，記為[d( )/dt]s＝[d( )/dt]r＋V[ω]×( )。( )中的可以是任意向量或純量函數。
　　所以R上的某運動系統的受力情況，由S表示為：V[F]＝mV[a]s，換成由R表示為：V[F]eff＝mV[a]r，其中eff為等效的意思，表示非一般慣性系統的Newton第二定律。並且R表示式中會多出兩種力：離心力與Coriolis力(柯氏力)，為R之旋轉作用所造成的等效假想作用力。
　　對地球這個旋轉座標系，因為地球逆時鐘自轉，故北半球的直線運動，會因Coriolis力作用，而相對於原運動方向向右偏轉，如：由南向北運動會向東方偏。而要察覺Coriolis力之作用需要看一定尺度才會顯現，也可由此知，地球是旋轉的系統。
　　Coriolis力之引入，只因為旋轉座標系的旋轉作用，會使運動產生一偏轉現象，單純為了描述上之方便而引入的，跟離心力一樣非真實的力，故稱為假想力。地球大氣系統中，北半球的低氣壓氣旋皆以逆時鐘轉入低壓中心，即是Coriolis力之一個運用。
　　詳細分析可得S上看的總受力情況：V[F]＝mV[a]s＝m{V[A]s＋V[a]r＋V[α]×V[r]＋V[ω]×(V[ω]×V[r])＋ 2V[ω]×V[v]r}，其中V[A]s為旋轉座標R的移動加速度；V[a]r為旋轉座標R看系統之加速度，即受力情況； V[α]為R的角加速度，V[r]為R看系統某點之位置向量。因為地球公轉週期比自轉週期大的多，故在自轉週期之觀測尺度，可近似假設公轉運動只是單純的移動，且第一項與第三項的變化與影響相對較小，故常忽略不看。故R中看該系統的受力情況：V[F]eff＝mV[a]r＝V[F]－m[V[ω]×(V[ω]×V[r])＋2V[ω]×V[v]r]，後二項分別稱為離心力與Coriolis力(柯氏力)。
　　V[F]需看具體情況討論，如選擇R為地球，則有重力作用，可將重力由V[F]中提出，而離心力可加到重力作用之中。故在地球上討論某一系統之受力得到等效的Newton第二定律為：V[F]eff＝mV[a]＝V[F]＋mV[g]－ m{V[ω]×(V[ω]×V[r])＋2 V[ω]×V[v]} (忽略標記r)。

2009-03-01未時