Lagrange與Hamilton力學

　　原則上力學系統，都可利用Newton第二運動定律，寫下系統的運動方程，解二階微分方程得到運動軌跡。但對有約束條件限制之系統，例如限制在球面上運動，約束條件就是球面之限制，而此也常是工業工程上會遇到的問題，Newton力學將變的複雜不容易討論，甚至無法進一步分析。因而發展出了Lagrange力學與Hamilton力學。
　　將系統所有獨立變數找出，定義廣義座標來描述系統。引入Lagrange量，並建立其對應的作用量，以最小作用原理與虛功原理來分析，此即Lagrange力學。最大的優點是：運動方程都是Euler-Lagrange方程的形式。運動方程仍是時間的二階微分方程。要選取適當之廣義座標並不容易。Lagrange量雖是能量單位，但並不是描述系統總能量的物理量。
　　利用廣義座標與廣義動量來描述系統，由Lagrange力學作Legendre變換得到Hamilton量，此即Hamilton力學。最大的優點是：討論系統的守恆量與系統總能量很方便。運動方程是時間的一階微分方程，但方程之數目變成兩倍。廣義座標與廣義動量組成的空間稱為相空間。

2009-02-28申時

最小作用原理

　　由光走最短路徑可證明：光的反射與折射定律。在討論系統的最短時間、最短距離與最小能量等問題。常引入作用量(action)S來描述系統，取δS＝0求極值，即得此類問題的解。極值不一定是最小的值，但一般討論的總是最小值，故稱此方法為最小作用原理。
　　符號δ為變分符號，一般以變分來看，討論的是假想的變化情況，故假設系統自變數不變的情況下，因變數作一微小變化時的情況。如：力學中以變分討論時，都假設時間不變δt＝0，位置作一微小改變δx(即位移)，速度作一微小改變δv時之情況，由於位移δx是假想的改變量，故常稱為虛位移，由此得到的功的變化，稱為虛功原理。
　　研究粒子運動系統，由δS＝0求出最佳路徑，常稱為古典路徑xcl，對應作用量Scl。這個解是我們花時間解出來的，但粒子竟可不需去嘗試每條路徑，只要由下一微小時間的作用量，就可快速的猜出最佳路徑，自動的沿著古典路徑運動，多麼聰明的粒子。
　　作用量S在物理中的運用相當廣泛，幾乎每個領域都可以運用。在廣義相對論中，也可利用δS＝0來推導出Einstein萬有引力方程。雖然如此好用，但彷彿是自然最基本的規則一般，完全無法進一步去問原因。雖量子力學中Feynman的路徑積分理論，可較直觀的了解最小作用原理，但仍無法得知最根本的原因。

2009-02-25戌時

關於作用與反作用力定律

　　作用力與反作用力之敘述為：大小相等、方向相反，並且同時存在與消失之力。所謂的存在與消失，並不單是力真的消失，而是作用與不作用了！分析以下接觸力作用：A與B二人施力互推，故A施給B的推力與B給A的反作用力大小相等方向相反，同時存在同時消失。上述A、B互換，即B推A的情況。而重點在於A與B給對方的反作用力何來？
　　反作用力的產生，應該是剛體物質的組成結構共同反抗外加作用力，相應而生之內在抵抗力，是被動而非主動的，故才會與外力大小相等、方向相反，同時存在與消失。而考慮剛體，是為避免物體受外力作用而發生形變的可能，為一種簡單化的假設。
　　人站在地面上，在地球重力的作用下會向地心移動，如果地面質地夠硬，會反抗人往地心移動，此一反抗力一般稱為正向力，為接觸力的一種，一但人離開地面，正向力立即消失。而重點是：施給地面力的，是人還是地球？
　　考慮兩個靜止不動的質點，質量m1之質點作用在質量m2之質點上的力，方向由2指向1，記為V[F21]，m2作用在m1上的力，方向由1指向2，記為V[F12]，顯然V[F21]＋V[F12]＝0。而此是將兩個質點看成一個系統，故其間的相互作用力為內力，所以總合力為零。而此兩個力來源不同作用不同，並不是作用力與反作用力之關係。Coulomb靜電力也是類似的情況。
　　所以單看場力作用，應無作用力與反作用力之概念。但學習時，卻都會提到萬有引力與Coulomb靜電力，仍滿足Newton第三定律。感覺相當奇怪，雖然不去問來源，直接以大小相等、方向相反，同時存在與消失之特性來看仍算是，但似乎有些怪怪的。

2009-02-22酉時

Kepler行星三大運動定律

　　Kepler由一系列觀測數據整理出Kepler行星之三大運動定律。第一定律：行星以橢圓軌道繞著恆星轉動，恆星在橢圓軌道之一焦點上。第二定律：行星在單位時間中掃出的面積為一定值，此即角動量守恆的表現。第三定律：行星的公轉週期平方與平均軌道半徑立方之比值為常數。
　　Newton萬有引力之成功，在於可以由此得到Kepler行星三大運動定律。而一般如：地球繞日，月球繞地球等的星體系統，以Newton的萬有引力就可解釋，但還是有例外，如最靠近太陽的水星攝動現象，無法合理的解釋。此須在廣義相對論建立後，才能圓滿解釋，並更全面的認識到萬有引力。
　　由－GMmV[er]/r^2＝mV[a]，將V[a]在極座標(r,φ)之形式寫下，V[eφ]方向不受力，解角度方向的微分方程，可得到Kepler第二定律。V[er]方向受萬有引力引作用，解徑向微分方程即可得出Kepler第一定律。解微分方程時出現的積分常數，需由初始條件給定。一般初始條件選在遠日點或近日點，以此為時間零點的優點是：此二處r對時間微分為零。因此二點為最遠與最近，不會再有增減。

2009-02-18亥時

萬有引力

　　Newton最有名的傳說就是被落下的蘋果打到頭，思考出了萬有引力公式：V[F]＝－GMmV[er]/r^2。萬有引力一般常稱為重力，因為恆為吸引力因而稱為萬有引力。公式描述質量為M與m之二物體間的引力大小與其質量的乘積Mm成正比，與二物體之間之距離r的平方成反比，力方向恆指向物體之質心，G稱為萬有引力常數。
　　金屬線有一種稱為扭力的彈性恢復力，當金屬線扭轉時，會自己扭轉回來原來的狀態，而產生微小的擺動。以此特性作成的裝置稱為扭擺。Cavendish利用扭擺實驗測量出G的值。此實驗的困難處在於，實驗裝置中的萬有引力很小，由此法測出G值，需要莫大的恆心與耐心。
　　以場的觀點來看，萬有引力為放在原點質量M之物體對空間某一點r處，所建立的引力場，所以如有一個質量為m的物體在r處，受到質量M的引力場作用而受力。

2009-02-12亥時

二體力假設

　　物理學中常討論數個粒子組成的系統。在討論其中任兩個粒子的相互作用時，都假設其他粒子的存在，不會對此二粒子造成影響。即在討論一個粒子受其他粒子作用之合力時，可單獨看某一個與此粒子的受力情況後，再相加得到最後結果，此一看似平常的過程，其實就是二體力假設。
　　所謂的二體力假設，即討論二粒子間力的作用時，其他粒子的存在與否不會影響此二粒子間的受力結果。即使只有兩個粒子的系統，也不會相互改變其力場的本質，故可由場的觀念將相互作用力寫下來。
　　由此討論上述多粒子系統的受力，只需要兩兩考慮再相加即為總受力。所以如系統不受外力，則由二體力假設可知，其間的相作用力的總合為零。二體力假設中最後看的是合力，且一般討論的力通常是場力，故此隱含了場力與場可線性疊加。此假設大大的簡化了力場的討論，無須太過複雜的考慮。二體力假設，無法去推敲原因，只能不斷的由實驗來驗證其正確性。

2009-02-11未時

質點的運動

　　在討論物體運動時，為了將討論的問題簡單化，所以常忽略物體所佔據的體積，將運動物體看成一個稱為質點或粒子的點。
　　空間中質點的運動一般有三種：第一種─靜止，隨時間流逝，質點恆在某一個點P上。第二種─等速度運動，隨著時間流逝，質點速度之大小與方向皆不改變，故為直線運動。第三種─加速度運動，隨著時間流逝，質點在空間受外力作用作加速運動，運動軌跡為一條空間曲線。最簡單的加速運動即等加速度運動，即質點加速度之大小與方向皆不隨時間流逝改變，故為直線運動。
　　考慮空間中某一點P，時刻t時位置向量為V[r(t)]，時刻t＋Δt時在V[r(t＋Δt)]，其中Δt為微小的時間增加量。定義位移向量ΔV[r]為後來位置向量減原先位置向量差，即ΔV[r]＝V[r(t＋Δt)]－V[r(t)]。平均速度V[va]＝ΔV[r]/Δt。瞬時速度V[v(t)]＝[Lim(Δt→0)]ΔV[r]/Δt。故時刻t與t＋Δt之瞬時速度分別為V[v(t)]與V[v(t＋Δt)]。定義速度變化量為後來瞬時速度減去原先瞬時速度的差，即ΔV[v]＝V[v(t＋Δt)]－V[v(t)]。平均加速度V[aa]＝ΔV[v]/Δt。瞬時加速度V[a(t)]＝[Lim(Δt→0)]ΔV[v]/Δt。將質點在時刻t到t＋Δt時所走過之曲線長度，稱為路徑長S。將路徑長S除以時間差值之結果稱為平均速率。取Δt趨近於零，得到t時刻之瞬時速度的大小，稱為瞬時速率。

2009-02-03亥時

Newton運動定律

　　Newton整理與歸納Galileo等前人與自己的研究，提出物體運動的三大定律：慣性定律、力與加速度定律和作用力與反作用力定律，並建立了Newton力學，為古典力學之一支，物理學最根本之基礎。
　　慣性定律：只要物體不受外力，或所受外力之合力是零，則靜者恆靜，動者恆沿運動方向做等速直線運動。力與加速度定律：在有外力作用的情況下，作用在物體上的總外力與加速度之比值為常數，此常數稱為慣性質量，即著名的F＝ma。作用力與反作用力定律：外力作用在物體的某一點上，物體為維持自身的狀態，產生一個大小相同而方向相反的力來抵抗，此力即稱為(內在)反作用力，與外加作用力同時存在與消失。
　　由第二定律知，質點的運動規則，藏在運動方程V[F]＝mV[a]中，由於力與加速度都是向量，所以在三維系統中，上式表示了x、y與z三個方向的運動規則。且加速度是位置對時間的二次微分，所以運動軌跡其實就是，三個方向的位置所滿足的二階微分方程的解，此即Newton力學之核心。在相對論提出後發現，對質點運動速度遠小於光速時，Newton力學近似適用。

2009-02-01午時