之前在序論中有提過，此處將較詳細的說明。
十九世紀末，當時的學者認為物理已完全掌握，剩下的只是精密度的問題。但當時有些現象卻無法以理論來圓滿解釋，甚至完全無法解釋。
Rayleifh與Jean以電磁學諧振腔理論與估計系統可能狀態數目的方法，推導出Rayleifh-Jean黑體輻射公式：R(υ)＝(2πυ^2/c^2)kT，而在高頻率的時候竟然發散，造成與實際不符的紫外災難。Wien猜測出黑體輻射公式：R(υ)＝cυ^3exp(－hυ/kT)，但卻在低頻率時失效。
光電效應的實驗結果，發現沒有所謂的時間延遲，且無論光在如何微弱，只要高於一個稱為門檻頻率的臨界值後，都可打出光電子。這些古典理論都無法解釋。
Rutherford由α粒子撞擊金薄的實驗，提出的原子有核模型，但由電磁理論可知：加速的帶電粒子會因運動放出電磁波而減速。所以電子很快的就會因失速而打在原子核上，即得到原子的生命是相當短暫的不合理結論。
由古典統計力學理論固體的比熱在低溫時為常數，但實際上卻不是常數，而是與絕對溫度的三次方成正比。
由以上的一些現象，當時的物理看來並不是那麼的完美。因而讓科學家懷疑是否還有未知的領域還沒有被發現。量子力學的觀念，在當時正逐漸的醞釀，準備萌芽。
2008年10月9日 星期四
電磁場強度二階張量
由古典電動力學可知：靜電學與靜磁學是等價的。由狹義相對論的第一個基本假設知：Maxwell方程與Lorentz力在任何慣性座標中皆成立。所以，靜電場與靜磁場是相對論性的等價關係。即在一個慣性座標系中討論某一系統是靜電場作用，而在另一個慣性座標系中討論此系統是靜磁場作用。
由此可討論一個點電荷的運動所建立的電磁場。在與點電荷相對靜止的慣性座標系中，為Coulomb靜電場作用。在另一慣性座標系中，點電荷以等速度沿x軸運動。由此得到的結論與由Liénard-Wiechert電磁勢，考慮等速度時所求得的電磁場形式相同。
假設Σ`(x`,y`,z`,t`)相對於Σ(x,y,z,t)以等速度v向x軸運動。Σ`中的電磁場為V-E`與V-B`，Σ中的電磁場為V-E與V-B。其Lorentz變換為：
Ex`＝Ex，Ey`/c＝γ(Ey/c－βBz)，Ez`/c＝γ(Ez/c＋βBy)。
Bx`＝Bx，By`＝γ(By＋βEz/c)，Bz`＝γ(Bz－βEy/c)。
更一般的情況，可以考慮一個反對稱的二階逆變張量T(μν,)。二階逆變張量有以下性質：μ＝ν時，T(μμ,)＝0；μ≠ν時，T(μν,)＝－T(νμ,)。
T(μν,)滿足：T(μν,) `＝a(μ,_α) a(μ,_β) T(αβ,)。即
T(01,)`＝T(01,)，T(02,) `＝γ[T(02,)－βT(12,)]，T(03,) `＝γ[T(03,)＋βT(31,)]。
T(23,)`＝T(23,)，T(31,) `＝γ[T(31,)＋βT(03,)]，T(12,) `＝γ[T(12,)－βT(02,)]。
如選擇T(01,)＝－Ex/c，得到T(μν,)定義為F(μν,)稱為電磁場強度二階張量。即F(00,)=F(11,)＝F(22,)＝F(33,)＝0；
F(01,) =－Ex/c=－F(10,)；F(02,) =－Ey/c=－F(20,)；F(03,)=－Ez/c=－F(30,)；
F(12,)＝－Bz＝－F(21,)；F(13,)＝By＝－F(31,)；F(23,)＝－Bx＝－F(32,)。
F(μν,)也可定義如下：
F(μν,)＝Dx(,μ)[A(ν,)]－Dx(,ν)[A(μ,)]，其中x(,μ)＝(ct,－V-r)，
A(μ,)＝(V/c,V-A)，V為純量勢，V-A為向量勢。
如選擇T(01,)＝－Bx，得到T(μν,)定義為G(μν,)稱為電磁場強度二階張量F(μν,)的對偶張量。即將Ei/c→Bi，Bi→－Ei/c得到對偶張量G(μν,)。
令J(μ,)＝(cρ,V-J)，連續性方程：▽．V-J＋Dtρ＝0，變成Dx(μ,)[J(μ,)]＝0。由A(μ,)＝(V/c,V-A)，Lorentz規範：▽．V-A＋1/c^2DtV＝0，變成Dx(μ,)[A(μ,)]＝0。
由F(μν,)與G(μν,)，Maxwell方成可表示成：
Dx(ν,)[F(νμ,)]＝μ0 J(μ,)
Dx(ν,)[G (μν,)]＝0。
Dx(ν,)[F(νμ,)]＝μ0 J(μ,)，當μ＝0，有Dx(ν,)[ F(ν0,)]＝μ0 J(0,)，得到Dx(0,)[F(00,)]＋Dx(1,)[F(10,)]＋Dx(2,)[F(20,)]＋Dx(3,)[F(30,)]＝0＋Dx[Ex/c]＋Dy[Ey/c]＋Dz[Ez/c]＝▽．V-E/c＝μ0 cρ，所以有：▽．V-E＝μ0 c^2ρ＝ρ/ε0，即Gauss定律。
當μ＝1，有Dx(ν,)[ F(ν1,)]＝μ0 J(1,)，有Dx(0,)[F(01,)]＋Dx(1,)[F(11,)]＋Dx(2,)[F(21,)]＋Dx(3,)[F(31,)]＝0＋Dt[－Ex]/c^2＋Dy[By/c]＋Dz[－Bz/c]＝μ0 Jx，所以[－1/c^2 DtV-E＋▽×V-B]x＝μ0 Jx。同理由μ＝2與3，可得－1/c^2 DtV-E＋▽×V-B＝μ0V-J，即Maxwell-Ampère定律。
Dx(ν,)[G (μν,)]＝0，當μ＝0，有Dx(ν,)[G (0ν,)]＝0，得到Dx(0,)[G (00,)]＋Dx(1,)[G (01,)]＋Dx(2,)[G (02,)]＋Dx(3,)[G (03,)]＝0－[Dx[Bx]＋Dy[By]＋Dz[Bz]]＝0，所以有：▽．V-B＝0，即磁Gauss定律。
當μ＝1，有Dx(ν,)[G (1ν,)]＝0，得到Dx(0,)[G (10,)]＋Dx(1,)[G (11,)]＋Dx(2,)[G (12,)]＋Dx(3,)[G (13,)]＝Dt[Bx]/c＋0＋Dy[Ez/c]＋Dz[－Ey/c]＝0，所以1/c[Dt[V-B]＋▽×V-E] x＝0。同理由μ＝2與3，可得Dt[V-B]＋▽×V-E＝0，即Faraday定律。
由此可討論一個點電荷的運動所建立的電磁場。在與點電荷相對靜止的慣性座標系中，為Coulomb靜電場作用。在另一慣性座標系中，點電荷以等速度沿x軸運動。由此得到的結論與由Liénard-Wiechert電磁勢，考慮等速度時所求得的電磁場形式相同。
假設Σ`(x`,y`,z`,t`)相對於Σ(x,y,z,t)以等速度v向x軸運動。Σ`中的電磁場為V-E`與V-B`，Σ中的電磁場為V-E與V-B。其Lorentz變換為：
Ex`＝Ex，Ey`/c＝γ(Ey/c－βBz)，Ez`/c＝γ(Ez/c＋βBy)。
Bx`＝Bx，By`＝γ(By＋βEz/c)，Bz`＝γ(Bz－βEy/c)。
更一般的情況，可以考慮一個反對稱的二階逆變張量T(μν,)。二階逆變張量有以下性質：μ＝ν時，T(μμ,)＝0；μ≠ν時，T(μν,)＝－T(νμ,)。
T(μν,)滿足：T(μν,) `＝a(μ,_α) a(μ,_β) T(αβ,)。即
T(01,)`＝T(01,)，T(02,) `＝γ[T(02,)－βT(12,)]，T(03,) `＝γ[T(03,)＋βT(31,)]。
T(23,)`＝T(23,)，T(31,) `＝γ[T(31,)＋βT(03,)]，T(12,) `＝γ[T(12,)－βT(02,)]。
如選擇T(01,)＝－Ex/c，得到T(μν,)定義為F(μν,)稱為電磁場強度二階張量。即F(00,)=F(11,)＝F(22,)＝F(33,)＝0；
F(01,) =－Ex/c=－F(10,)；F(02,) =－Ey/c=－F(20,)；F(03,)=－Ez/c=－F(30,)；
F(12,)＝－Bz＝－F(21,)；F(13,)＝By＝－F(31,)；F(23,)＝－Bx＝－F(32,)。
F(μν,)也可定義如下：
F(μν,)＝Dx(,μ)[A(ν,)]－Dx(,ν)[A(μ,)]，其中x(,μ)＝(ct,－V-r)，
A(μ,)＝(V/c,V-A)，V為純量勢，V-A為向量勢。
如選擇T(01,)＝－Bx，得到T(μν,)定義為G(μν,)稱為電磁場強度二階張量F(μν,)的對偶張量。即將Ei/c→Bi，Bi→－Ei/c得到對偶張量G(μν,)。
令J(μ,)＝(cρ,V-J)，連續性方程：▽．V-J＋Dtρ＝0，變成Dx(μ,)[J(μ,)]＝0。由A(μ,)＝(V/c,V-A)，Lorentz規範：▽．V-A＋1/c^2DtV＝0，變成Dx(μ,)[A(μ,)]＝0。
由F(μν,)與G(μν,)，Maxwell方成可表示成：
Dx(ν,)[F(νμ,)]＝μ0 J(μ,)
Dx(ν,)[G (μν,)]＝0。
Dx(ν,)[F(νμ,)]＝μ0 J(μ,)，當μ＝0，有Dx(ν,)[ F(ν0,)]＝μ0 J(0,)，得到Dx(0,)[F(00,)]＋Dx(1,)[F(10,)]＋Dx(2,)[F(20,)]＋Dx(3,)[F(30,)]＝0＋Dx[Ex/c]＋Dy[Ey/c]＋Dz[Ez/c]＝▽．V-E/c＝μ0 cρ，所以有：▽．V-E＝μ0 c^2ρ＝ρ/ε0，即Gauss定律。
當μ＝1，有Dx(ν,)[ F(ν1,)]＝μ0 J(1,)，有Dx(0,)[F(01,)]＋Dx(1,)[F(11,)]＋Dx(2,)[F(21,)]＋Dx(3,)[F(31,)]＝0＋Dt[－Ex]/c^2＋Dy[By/c]＋Dz[－Bz/c]＝μ0 Jx，所以[－1/c^2 DtV-E＋▽×V-B]x＝μ0 Jx。同理由μ＝2與3，可得－1/c^2 DtV-E＋▽×V-B＝μ0V-J，即Maxwell-Ampère定律。
Dx(ν,)[G (μν,)]＝0，當μ＝0，有Dx(ν,)[G (0ν,)]＝0，得到Dx(0,)[G (00,)]＋Dx(1,)[G (01,)]＋Dx(2,)[G (02,)]＋Dx(3,)[G (03,)]＝0－[Dx[Bx]＋Dy[By]＋Dz[Bz]]＝0，所以有：▽．V-B＝0，即磁Gauss定律。
當μ＝1，有Dx(ν,)[G (1ν,)]＝0，得到Dx(0,)[G (10,)]＋Dx(1,)[G (11,)]＋Dx(2,)[G (12,)]＋Dx(3,)[G (13,)]＝Dt[Bx]/c＋0＋Dy[Ez/c]＋Dz[－Ey/c]＝0，所以1/c[Dt[V-B]＋▽×V-E] x＝0。同理由μ＝2與3，可得Dt[V-B]＋▽×V-E＝0，即Faraday定律。
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