靜電學之內容

　　靜電學之理論基礎有以下三種等價表示：第一種為V[E(V[r])]＝k∫ρ(V[r]`)V[G(V[r],V[r]`)]dV`與V[F]＝qV[E]；第二種為▽．V[E]＝4πkρ與▽×V[E]＝0，V[E]可線性疊加與V[F]＝qV[E]；第三種為▽^2V＝－4πkρ與V[F]＝－q▽V。即靜電學的核心為解出靜電場V[E]或靜電位V。
　　理論之一般形式知道後，剩下的必須看具體內容來解。最直接的就是求靜電場的積分。如果考慮的系統有高度的對稱性，則可利用：∮V[E]．dV[S]＝4πkQ，較容易求出系統的電場。
　　由V[E]＝－▽V，可定義V＝－[∫∞~V[r]] V[E]．dV[r]`，故知V[E]可求出靜電勢V。一般有
ΔV＝[∫＋~－] V[E]．dV[r]>0，常稱ΔV為電位差或電壓。
　　因為靜電勢是純量函數，比向量函數電場更方便與容易處理，所以只要可以求V，則可由V[E]＝－▽V來求出靜電場。由Poisson方程：▽^2V＝－4πkρ，解形式V(V[r])＝k∫ρ(V[r]`)/|V[r]－V[r]`|dV`。所以可直接積分解V，或解Poisson方程，並藉由唯一性定理來保證解的存在與唯一。也可用鏡像法來猜出解的形式，但不容易猜出。如果考慮的區域遠離電荷分部區域的話，可利用電多極展開將積分化成電荷、電偶極、電四極與電八極等的來近似描述。

2009-03-12未時

Coulomb定律與靜電場

　　從自然界的閃電現象，到摩擦帶電的靜電現象，開啟了人們研究電現象的興趣。Coulomb提出點電荷Q作用在q上的Coulomb靜電力為V[F]＝kQqV[er]/r^2，其中r為Q與q間的距離，V[er]為Q到q之方向，稱為Coulomb定律。為類似萬有引力之形式。
　　Q在空間所建立的靜電場可定義為V[E]＝[Lim(|q|→0)]V[F]/|q|。取|q|趨近於零是為了不使q的存在影響Q的電場分布。以前總是很簡單的將q移去，就很自然的得到Q的電場分布，而其實是藉由測試電荷q的受力，來求出Q的電場分布的。
　　因Coulomb靜電力為向量，故靜電場也是向量，所以都是可線性疊加的物理量。知道了單一點電荷的電場形式，對多個離散的點電荷系統，在二體力的假設下，也可做類似的描述。即可分別作分析後，再整個加起來，而不必很複雜的一起考慮。也就是說電場適用重疊原理。
　　如空間中某區域R之點電荷分布相當密集，則可近似看成連續，並以電荷密度ρ(V[r]`)來描述，此時的靜電場為V[E]＝k∫ρ(V[r]`)V[G(V[r],V[r]`)]dV`，其中V[G(V[r],V[r]`)]＝－▽(1/| V[r]－V[r]`|)，且積分∫()dV`為對變數V[r]`所在區域R的體積分，V[r]`描述電荷的分布情況，稱為源點，V[r] 描述電荷的分布以外的空間中某一點，稱為場點。此積分形式已應用了Coulomb定律與重疊原理。
　　上述靜電場的積分形式，在數學上為▽．V[E]＝4πkρ與▽×V[E]＝0之解形式。此可由Helmholtz唯一性定理來了解。▽．V[E]＝4πkρ，即Gauss定律(微分形式)，說明靜電場以ρ為源。其積分形式為∮V[E]．dV[S]＝4πkQ，∮()．dV[S]表示為Gauss封閉曲面之積分，Q為封閉曲面內之淨電荷量。由▽×V[E]＝0，說明靜電為無旋場，且有V[E]＝－▽V，其中V稱為靜電勢或靜電位為純量函數，負號的物理意義為：電荷在無其他外力作用下，恆由高電位往低電位移動。所以，▽^2V＝－4πkρ，其中▽^2＝▽．▽稱為Laplace算符。而靜電勢V之引入，在古典電磁學中，純粹是數學上引進的變量，本身並不是物理量。有實質意義的是電位差(電壓)。

2009-03-10亥時

向量微分運算子

　　▽稱為向量微分運算子，一般在直角座標下定義，也有一個以積分式與極限表示的一般定義。▽向右作用於純量函數與向量函數。
　　▽與純量函數Ψ之作用稱為Ψ之梯度(gradient)，記為gradΨ或▽Ψ，為向量函數。梯度的意義為：純量函數Ψ在空間中某一點的最大改變量與指向。
　　▽與向量函數V[F]之作用有二種：散度(divergence)與旋度(curl)。
　　▽與向量函數V[F]之內積稱為V[F]之散度，記為divV[F]或▽．V[F]，為純量函數，其意義為：V[F]在空間中某一點附近，單位體積的總通量變化。
　　▽與向量函數V[F]之外積作用稱為V[F]之旋度，記為curlV[F]或▽×V[F]，為向量函數，其意義為：V[F]在空間中某一點附近，單位面積的最大環流量與指向。
　　其組合有以下兩個有趣的恆等式：▽×(▽Ψ)＝0與▽．(▽×V[F])＝0。在物理上有其重要的意義。

君不見 2009-03-06申時

向量代數

　　向量在數學上有嚴謹的定義：「和位置向量作相同的旋轉變換，而仍維持長度不變的量稱為向量。」向量的基本性質：向量可以藉由相加減、乘上某個實數伸縮或反向、互向交換加減之順序等，來得到其他向量。
　　將一個向量除以其長度，稱為向量的歸一化，所得到的向量稱為單位向量，其意義就是該向量的方向。
　　兩個向量V[A]與V[B]的乘法有：內積(點積或純量積)定義為V[A]．V[B]。表示一向量在另一向量上的分量或投影量，為純量與作用次序無關，即V[A]．V[B]＝V[B]．V[A]。外積(叉積或向量積)定義為V[A]×V[B]。大小表示以此二向量為菱的平行四邊形面積，方向為此二向量所在平面之法線方向(由右手定則決定)，為向量與作用次序有關，即V[A]×V[B]＝－V[B]×V[A]。
　　三個向量的乘法，最基本的有：V[A]．(V[B]×V[C])，為一個純量，其大小表示以此三向量長度為菱的平行六面體體積。所以說如這三個向量共平面，其值為零。V[A]×(V[B]×V[C])＝V[B](V[A]．V[C])－V[C](V[A]．V[B])，常用來簡化等式之運算。

君不見 2009-03-05亥時

三維Euclid空間

　　在紙上畫出一直線，不妨將直線右邊定義為正並畫上→，將此考慮方向性的直線稱為射線。在箭頭右方標上x，此射線稱為x軸線。紙上可形象式的畫出與x軸相互垂直的另外兩個軸線，不妨稱為y軸與z軸。此三軸線之方向選取，滿足Ampère右手定則：將右手四指指向x軸，轉向y軸，大拇指之方向即z軸方向。並將三軸之交點記為O稱為原點，如此形成一個三維直角座標系，即三維Euclid空間。
　　Euclid空間中某一點P可以(x,y,z)描述，與原點O的距離定義為r＝(x^2＋y^2＋z^2)^(1/2)，以O看向P的方向，定義為P點之方向，將度量r與方向一起考慮的量定義為空間中某一點P之位置向量，記為V[r]。而r稱為位置向量之長度(或大小或量值或模量)，且V[r]之單位向量V[er]＝V[r]/r。向量簡單來說就是考慮方向性與度量的量。一般分成可圖示的幾何向量與抽象的解析向量。

君不見 2009-03-03 亥時