向量的線性獨立

　　xy平面中，作一以原點為圓心，半徑為一的單位圓，由原點到圓上之一點代表一個方向，此方向是水平與垂直的組合方向，此圓蘊含了二維的所有方向。同理，三維直角座標中，以原點為球心，作一半徑為一的單位球，此球蘊含了三維的所有方向。將此單位圓與單位球縮到圓心與球心，即零向量。所以零向量是長度為零，方向任意的向量。
　　考慮向量的線性組合如下：a1V[F1]＋a2V[F2]＋…＋amV[Fm]＝0。如只有a1＝a2＝…＝am＝0，此一唯一解，稱V[F1]，…，V[Fm]線性獨立。如a1，…，am有一個以上異於零的解，稱V[F1]，…，V[Fm]線性相依。故如V[F1]等，只要有一個是零向量，一定線性相依，所以要求V[F1]，…，V[Fm]為非零向量。
　　一般幾何向量最多只到三維，所以上述為解析向量的定義，可推廣到高維度。所以三維空間中分別在x軸、y軸與z軸上的向量，是相互線性獨立的。二維空間中分別在x軸與y軸上的向量，是相互線性獨立的。直角座標系是一個最特殊也最簡單的例子。各軸上的單位向量稱為歸一正交基底向量，其組合稱為正交座標(直角座標)。
　　更一般的看，三維空間的三個相互線性獨的向量，即可以組成基底向量，故只要V[A]．(V[B]×V[C])不為零。一般都要進行歸一正交化的步驟，化成類似直角座標系之歸一正交基底向量。

君不見 2009-06-11巳時

Lorentz變換

　　仍假設Σ`(x`,y`,z`,t`)相對於Σ(x,y,z,t)以等速度v向x軸運動。由長度縮縮公式─L＝(1/γ)L`，令L`＝x`，即在Σ`測量之位置變換相對靜止，故測到的即是x`，而在Σ測量之位置則為x＝L＋vt＝(1/γ) x `＋vt。所以x `＝γ(x－vt)。所以在Σ`之觀點變成x＝γ(x `＋vt`)，所以t`＝(1/v) (x/γ－x `)，將x `＝γ(x－vt)帶入整理得到t`＝γ(t－vx/c^2)。所以Lorentz變換滿足：
x`＝γ(x－vt)
y`＝y
z`＝z
t`＝γ(t－vx/c^2)
而可由此解釋時間膨脹、長度縮縮與同時性的相對性。
　　以上討論，是由長度縮縮來簡單導出Lorentz變換，更一般的方法可將變換看成4×4的矩陣，由基本假設與一些性質，也可導出。

2009-06-05未時

Galileo變換

　　Galileo由力學之研究結果，寫下了兩慣性座標系間的聯繫公式，稱為Galileo變換。如假設Σ`(x`,y`,z`,t`)相對於Σ(x,y,z,t)以等速度v向x軸運動，則(x`,y`,z`,t`)與(x,y,z,t)滿足：
x`＝x－vt
y`＝y
z`＝z
t`＝t
即描述某一事件的發生在Σ中測到的是(x,y,z,t)，而Σ`中測到的是(x`,y`,z`,t`)，彼此間，由上述四個方程聯繫。此四個方程即著名的Galileo變換。
　　由x`＝x－vt與t`＝t，可以得到u`＝u－v，其中u`＝Dt`(x`)，u＝Dt(x)。此即相對速度公式：Vpo`＝Vpo＋Voo`＝Vpo－Vo`o。其中p為空間中某一點，o為Σ座標系之參考點，o`為Σ`座標系之參考點，則u`＝Vpo`，u＝Vpo，v＝Vo`o。
　　由t`＝t，可以得到Δt`＝Δt，此表示此二座標的時間流逝是相同的，即絕對時間。所以一但對時後，此二慣性座標皆以相同的時間流逝，則在同一瞬間，測量某物體的長度有Δx`＝Δx，此為絕對空間之性質。

2009-06-02子時

同時性的相對性

　　討論同時性時，兩地的鐘要先對時才可描述。令此二地分別為A與B，A在時間ta時，發射一光源，當光源到B時，B之時鐘為tb。當光源回到A時，A之時鐘為ta`。如tb＝(ta＋ta`)/2，則稱A、B兩地的鐘完成對時。
　　看列車的一節車廂，前端為A，後端為B，車廂中央有一燈，假設車相對車站以等速度v向前運動。則車上的觀察者認為光同時到A與B，而與車站相對靜止之觀察者，認為光先到B再到A。
　　此是光速恆定之結論，表示同時性是相對的，隨慣性座標之不同而不同。也就是說在某個慣性座標，觀測某個事件是同時發生的，則再另一個慣性座標中，卻不同時。
　　無論是時間膨脹、長度收縮或同時性的相對性，都是在v接近光速時才會顯著的現象，一般情況是絕不會發現的，且與「常理」相差甚多，這也就是為何狹義相對論直到二十世紀初才由打破「常理」的Einstein發現的原因。

2009-05-31未時

長度縮縮

　　乙相對於甲以等速度v向x軸運動，測量一個在乙所在的慣性座標中的物體長度，物體放置之長度與運動方向平行。乙測量其長度為L`，甲測量其長度(需同時測量兩端)為L。由狹義相對論，可推測出其關係為L＝(1/γ)L`。即相對運動之觀察者測得的物體長度，比相對靜止之觀察者測得的物體長度短。此即長度縮縮現象。
　　長度縮縮現象，只在相對運動的方向上發生。可以由以下的假想實驗來說明。乙拿紅色油漆，甲拿藍色油漆，來漆高度為H的木板圍籬。如垂直運動的方向上有長度縮縮現象，則乙會以為紅色在上而藍色在下，甲會以為藍色在上而紅色在下，因而產生矛盾。所以垂直運動的方向上無長度縮縮現象才會合理。即乙以紅色油漆蓋過藍色油漆，甲以藍色油漆蓋過紅色油漆。
　　長度縮縮最著名的例子是「梯子與倉庫佯謬」。農夫有一長15公尺的梯子，與長10公尺倉庫。當農夫知道相對論的長度縮縮現象時，要求他兒子以(4/5)c的速度(β＝4/5，γ＝5/3)水平的拿著梯子跑步，則農夫看梯子的長度變成15×3/5＝9公尺，梯子可收到倉庫中。他兒子也知道長度縮縮現象，告訴他父親，倉庫長度會變成10×3/5＝6公尺，梯子絕不可能收到倉庫中。
　　依據相對論，此二觀點都是對的。在農夫的觀點，農夫與倉庫相對於兒子與梯子是靜止的，在兒子的觀點，則反過來。此表示在不同的慣性座標，對同一系統的描述有所不同。農夫看梯子雖可以收到倉庫中，但可能梯子碰到牆壁後斷裂或碎裂；或彎曲在倉庫；或梯子將牆壁撞破一個洞。即剛體的假設會失效，但卻不知道哪一種情況會發生，而無論哪一種，農夫都不樂見。

註：時間膨脹公式推導。
假設乙中有一光線接收器，靜止躺在平行x軸之桌面上，鏡子與其平行並相距L0，所以光線運動方向與x軸垂直，故Δt`＝2L0/c。由甲之觀點，光線運動之距離為2[L0^2＋(vΔt/2)^2]^(1/2)，故Δt＝2[L0^2＋(vΔt/2)^2]^(1/2)/c。所以 (1－β^2)Δt^2＝(2L0/c)^2＝Δt`^2。得Δt＝γΔt`。
長度縮縮公式推導。
現在將裝置順時鐘轉90度。乙中測得之Δt`＝2L0/c＝2L`/c。由甲之觀點，光線到鏡子時花費t1，反射回到接收器時花費t2。t1＝(L＋v t1)/c，t2＝(L－v t2)/c。即(1－β)t1＝L/c，(1＋β)t2＝L/c，所以Δt＝t1＋t2＝L/c[1/(1－β)＋1/(1＋β)]＝2(L/c)/(1－β^2)＝γΔt`＝γ2L`/c。得L＝(1/γ)L`。

2009-05-30辰時