向量的線性獨立

　　xy平面中，作一以原點為圓心，半徑為一的單位圓，由原點到圓上之一點代表一個方向，此方向是水平與垂直的組合方向，此圓蘊含了二維的所有方向。同理，三維直角座標中，以原點為球心，作一半徑為一的單位球，此球蘊含了三維的所有方向。將此單位圓與單位球縮到圓心與球心，即零向量。所以零向量是長度為零，方向任意的向量。
　　考慮向量的線性組合如下：a1V[F1]＋a2V[F2]＋…＋amV[Fm]＝0。如只有a1＝a2＝…＝am＝0，此一唯一解，稱V[F1]，…，V[Fm]線性獨立。如a1，…，am有一個以上異於零的解，稱V[F1]，…，V[Fm]線性相依。故如V[F1]等，只要有一個是零向量，一定線性相依，所以要求V[F1]，…，V[Fm]為非零向量。
　　一般幾何向量最多只到三維，所以上述為解析向量的定義，可推廣到高維度。所以三維空間中分別在x軸、y軸與z軸上的向量，是相互線性獨立的。二維空間中分別在x軸與y軸上的向量，是相互線性獨立的。直角座標系是一個最特殊也最簡單的例子。各軸上的單位向量稱為歸一正交基底向量，其組合稱為正交座標(直角座標)。
　　更一般的看，三維空間的三個相互線性獨的向量，即可以組成基底向量，故只要V[A]．(V[B]×V[C])不為零。一般都要進行歸一正交化的步驟，化成類似直角座標系之歸一正交基底向量。

君不見 2009-06-11巳時