向量積分學

　　向量積分學中最常見的有Gauss散度定理與Stokes定理。前者為∫▽．V[F] dV＝∮V[F]．dV[S]，表示V[F]之散度在空間中某一區域R之體積分等於V[F]對區域R之封閉邊界曲面S的面積分(穿過S的總通量)。後者為∫▽×V[F]．d V[S]＝∮V[F]．dV[r]，表示V[F]之旋度在空間中某一曲面區域之面積分等於V[F]對此區域之封閉邊界曲線c的線積分(在c上之環流量)。
　　當V[F]在原點為奇異點時，封閉曲面積分可化成立體角之積分，此時Gauss散度定理不成立，而物理上常以δ函數來描述，使Gauss散度定理依然成立。當V[F]在原點為奇異點時，封閉曲線積分可化成純角度之積分，此時Stokes定理不成立。在Stokes定理中，如▽×V[F]＝0，且積分區域不含奇異點，則∮V[F]．dV[r]＝0，此時積分[∫a~b]V[F]．dV[r]只和給定的兩點a、b有關，跟此二點間的路徑無關(一般此積分與路徑有關)，且此時V[F]可表成某個純量函數的梯度，即V[F]＝▽Φ。
　　最後看Helmholtz唯一性定理：如V[F]滿足▽．V[F]＝D與▽×V[F]＝V[C]，純量函數D與向量函數V[C]給定，如D與V[C]在r趨近於無限遠時，比1/r^2更快趨近於零，且V[F]在r趨近於無限遠時，也比1/r更快趨近於零，則V[F]有唯一解：－▽U＋▽×V[W]，其中U＝(1/4π)∫D(V[r`])/| V[r]－V[r`]|dV`，V[W]＝(1/4π)∫V[C](V[r`])/| V[r]－V[r`]|dV`，對整個空間作積分。

君不見 2009-06-15申時