向量微分運算子

　　▽稱為向量微分運算子，一般在直角座標下定義，也有一個以積分式與極限表示的一般定義。▽向右作用於純量函數與向量函數。
　　▽與純量函數Ψ之作用稱為Ψ之梯度(gradient)，記為gradΨ或▽Ψ，為向量函數。梯度的意義為：純量函數Ψ在空間中某一點的最大改變量與指向。
　　▽與向量函數V[F]之作用有二種：散度(divergence)與旋度(curl)。
　　▽與向量函數V[F]之內積稱為V[F]之散度，記為divV[F]或▽．V[F]，為純量函數，其意義為：V[F]在空間中某一點附近，單位體積的總通量變化。
　　▽與向量函數V[F]之外積作用稱為V[F]之旋度，記為curlV[F]或▽×V[F]，為向量函數，其意義為：V[F]在空間中某一點附近，單位面積的最大環流量與指向。
　　其組合有以下兩個有趣的恆等式：▽×(▽Ψ)＝0與▽．(▽×V[F])＝0。在物理上有其重要的意義。

君不見 2009-03-06申時

向量代數

　　向量在數學上有嚴謹的定義：「和位置向量作相同的旋轉變換，而仍維持長度不變的量稱為向量。」向量的基本性質：向量可以藉由相加減、乘上某個實數伸縮或反向、互向交換加減之順序等，來得到其他向量。
　　將一個向量除以其長度，稱為向量的歸一化，所得到的向量稱為單位向量，其意義就是該向量的方向。
　　兩個向量V[A]與V[B]的乘法有：內積(點積或純量積)定義為V[A]．V[B]。表示一向量在另一向量上的分量或投影量，為純量與作用次序無關，即V[A]．V[B]＝V[B]．V[A]。外積(叉積或向量積)定義為V[A]×V[B]。大小表示以此二向量為菱的平行四邊形面積，方向為此二向量所在平面之法線方向(由右手定則決定)，為向量與作用次序有關，即V[A]×V[B]＝－V[B]×V[A]。
　　三個向量的乘法，最基本的有：V[A]．(V[B]×V[C])，為一個純量，其大小表示以此三向量長度為菱的平行六面體體積。所以說如這三個向量共平面，其值為零。V[A]×(V[B]×V[C])＝V[B](V[A]．V[C])－V[C](V[A]．V[B])，常用來簡化等式之運算。

君不見 2009-03-05亥時

三維Euclid空間

　　在紙上畫出一直線，不妨將直線右邊定義為正並畫上→，將此考慮方向性的直線稱為射線。在箭頭右方標上x，此射線稱為x軸線。紙上可形象式的畫出與x軸相互垂直的另外兩個軸線，不妨稱為y軸與z軸。此三軸線之方向選取，滿足Ampère右手定則：將右手四指指向x軸，轉向y軸，大拇指之方向即z軸方向。並將三軸之交點記為O稱為原點，如此形成一個三維直角座標系，即三維Euclid空間。
　　Euclid空間中某一點P可以(x,y,z)描述，與原點O的距離定義為r＝(x^2＋y^2＋z^2)^(1/2)，以O看向P的方向，定義為P點之方向，將度量r與方向一起考慮的量定義為空間中某一點P之位置向量，記為V[r]。而r稱為位置向量之長度(或大小或量值或模量)，且V[r]之單位向量V[er]＝V[r]/r。向量簡單來說就是考慮方向性與度量的量。一般分成可圖示的幾何向量與抽象的解析向量。

君不見 2009-03-03 亥時

序

　　為使物理的世界中的文章更精簡，一些數學上的專業術語不得不另外介紹。而此主要就是介紹一些數學名詞為主的文章。只有概念性的介紹，不會涉及太深入與抽象的定義與描述。

君不見 2009-03-03 亥時

旋轉座標系

　　一般如地球等的星體，有自轉與公轉運動，所以討論在運動剛體上的力學現象是需要的，所以要建立旋轉座標系。假設一個慣性座標系S，R相對於S旋轉與運動，稱為旋轉座標系。
　　在S中看系統R中某一點的時間變化，除了移動運動的變化外，還多了旋轉運動造成的變化。即慣性座標系S的時間微分作用＝旋轉座標系R的時間微分作用＋旋轉座標系R的角速度向量ω的外積作用，記為[d( )/dt]s＝[d( )/dt]r＋V[ω]×( )。( )中的可以是任意向量或純量函數。
　　所以R上的某運動系統的受力情況，由S表示為：V[F]＝mV[a]s，換成由R表示為：V[F]eff＝mV[a]r，其中eff為等效的意思，表示非一般慣性系統的Newton第二定律。並且R表示式中會多出兩種力：離心力與Coriolis力(柯氏力)，為R之旋轉作用所造成的等效假想作用力。
　　對地球這個旋轉座標系，因為地球逆時鐘自轉，故北半球的直線運動，會因Coriolis力作用，而相對於原運動方向向右偏轉，如：由南向北運動會向東方偏。而要察覺Coriolis力之作用需要看一定尺度才會顯現，也可由此知，地球是旋轉的系統。
　　Coriolis力之引入，只因為旋轉座標系的旋轉作用，會使運動產生一偏轉現象，單純為了描述上之方便而引入的，跟離心力一樣非真實的力，故稱為假想力。地球大氣系統中，北半球的低氣壓氣旋皆以逆時鐘轉入低壓中心，即是Coriolis力之一個運用。
　　詳細分析可得S上看的總受力情況：V[F]＝mV[a]s＝m{V[A]s＋V[a]r＋V[α]×V[r]＋V[ω]×(V[ω]×V[r])＋ 2V[ω]×V[v]r}，其中V[A]s為旋轉座標R的移動加速度；V[a]r為旋轉座標R看系統之加速度，即受力情況； V[α]為R的角加速度，V[r]為R看系統某點之位置向量。因為地球公轉週期比自轉週期大的多，故在自轉週期之觀測尺度，可近似假設公轉運動只是單純的移動，且第一項與第三項的變化與影響相對較小，故常忽略不看。故R中看該系統的受力情況：V[F]eff＝mV[a]r＝V[F]－m[V[ω]×(V[ω]×V[r])＋2V[ω]×V[v]r]，後二項分別稱為離心力與Coriolis力(柯氏力)。
　　V[F]需看具體情況討論，如選擇R為地球，則有重力作用，可將重力由V[F]中提出，而離心力可加到重力作用之中。故在地球上討論某一系統之受力得到等效的Newton第二定律為：V[F]eff＝mV[a]＝V[F]＋mV[g]－ m{V[ω]×(V[ω]×V[r])＋2 V[ω]×V[v]} (忽略標記r)。

2009-03-01未時