四維向量

　　此處要介紹四維向量之概念。四維向量，即英文的four-vector。維狹義相對論中所引入之概念。由Lorentz變換知：(ct`)^2－(x`)^2－(y`)^2－(z`)^2＝(ct)^2－(x)^2－(y)^2－(z)^2＝不變量。有類似向量的性質。所以可以定義(x,y,z ,ict)或(ct, ix,iy,iz)，直接類比成四維Euclid空間。
　　而一般也常以(ct, x,y,z)與(ct,－x,－y,－z)來討論。將第一組稱為一階逆變張量x(μ,)＝(ct, V[r])，第二組稱為一階協變張量x(,μ)＝(ct,－V[r])，有時也選為x(,μ)＝(－ct, V[r])。所以有x(μ,)x(,μ)＝(ct)^2－(x)^2－(y)^2－(z)^2＝不變量。
　　在之後的討論，選擇以一階逆變張量x(μ,)＝(ct, V[r])與一階協變張量x(,μ)＝(ct,－V[r])來描述，此在討論原時(proper time)時相當方便。
　　定義x(μ,)＝(x(0,), x(1,), x(2,), x(3,))＝(ct,x,y,z)，所以Lorentz變換變成：
x(0,)`＝γ(x(0,)－βx(1,))
x(1,)`＝γ(x(1,)－βx(0,))
x(2,)`＝x(2,)
x(3,)`＝x(2,)
簡記為x(μ,)`＝a(μ,_ν) x(ν,)，由Einstein求和約定對ν求和。

2009-06-30申時

關於張量

　　張量是向量的推廣。由張量的分量表示，可定義張量的階數。零階張量即一般純量，一階張量即向量，有一階協變與一階逆變二形式。由二維斜角座標系來看起，可對一階協變與逆變的有幾何上的感覺。二階以上的張量，有協變、逆變與混變等形式。一般常以分量形式表示張量，其優點是可很快知道張量的階數與形式，雖以向量表示較簡潔，但無法很快得知張量的階數與形式。
　　將兩個向量並在一起，可得到一個二階張量，此二向量稱為並向。此在物理上也常碰到，常以分量來表示，以向量表示為V[A]V[B]。而此不表示所有二階張量皆可表示成二向量的並向。
　　張量間的內積作用稱為縮並。以下看並向張量的內積。對二階張量V[A]V[B]與向量V[C]之內積有二種：V[C]．V[A]V[B]＝(V[C]．V[A])V[B]與V[A]V[B]．V[C]＝V[A](V[B]．V[C])。二階張量V[A]V[B]與二階張量V[C]V[D]之內積有二種：V[A]V[B]··V[C]V[D]＝(V[B]．V[C])(V[A]．V[D])稱為串積與V[A]V[B]：V[C]V[D]＝(V[A]．V[C])(V[B]．V[D])稱為並積。
　　張量的物理意義需看所討論的系統而定，有時數學上，簡單可推導出的結果，但不易看清其物理上的意義，也可能不具有任何意義。張量有時真的會感覺很難。或許是不夠熟悉，更多情況是很難直觀了解。

君不見 2009-06-20申時

向量積分學

　　向量積分學中最常見的有Gauss散度定理與Stokes定理。前者為∫▽．V[F] dV＝∮V[F]．dV[S]，表示V[F]之散度在空間中某一區域R之體積分等於V[F]對區域R之封閉邊界曲面S的面積分(穿過S的總通量)。後者為∫▽×V[F]．d V[S]＝∮V[F]．dV[r]，表示V[F]之旋度在空間中某一曲面區域之面積分等於V[F]對此區域之封閉邊界曲線c的線積分(在c上之環流量)。
　　當V[F]在原點為奇異點時，封閉曲面積分可化成立體角之積分，此時Gauss散度定理不成立，而物理上常以δ函數來描述，使Gauss散度定理依然成立。當V[F]在原點為奇異點時，封閉曲線積分可化成純角度之積分，此時Stokes定理不成立。在Stokes定理中，如▽×V[F]＝0，且積分區域不含奇異點，則∮V[F]．dV[r]＝0，此時積分[∫a~b]V[F]．dV[r]只和給定的兩點a、b有關，跟此二點間的路徑無關(一般此積分與路徑有關)，且此時V[F]可表成某個純量函數的梯度，即V[F]＝▽Φ。
　　最後看Helmholtz唯一性定理：如V[F]滿足▽．V[F]＝D與▽×V[F]＝V[C]，純量函數D與向量函數V[C]給定，如D與V[C]在r趨近於無限遠時，比1/r^2更快趨近於零，且V[F]在r趨近於無限遠時，也比1/r更快趨近於零，則V[F]有唯一解：－▽U＋▽×V[W]，其中U＝(1/4π)∫D(V[r`])/| V[r]－V[r`]|dV`，V[W]＝(1/4π)∫V[C](V[r`])/| V[r]－V[r`]|dV`，對整個空間作積分。

君不見 2009-06-15申時

向量的線性獨立

　　xy平面中，作一以原點為圓心，半徑為一的單位圓，由原點到圓上之一點代表一個方向，此方向是水平與垂直的組合方向，此圓蘊含了二維的所有方向。同理，三維直角座標中，以原點為球心，作一半徑為一的單位球，此球蘊含了三維的所有方向。將此單位圓與單位球縮到圓心與球心，即零向量。所以零向量是長度為零，方向任意的向量。
　　考慮向量的線性組合如下：a1V[F1]＋a2V[F2]＋…＋amV[Fm]＝0。如只有a1＝a2＝…＝am＝0，此一唯一解，稱V[F1]，…，V[Fm]線性獨立。如a1，…，am有一個以上異於零的解，稱V[F1]，…，V[Fm]線性相依。故如V[F1]等，只要有一個是零向量，一定線性相依，所以要求V[F1]，…，V[Fm]為非零向量。
　　一般幾何向量最多只到三維，所以上述為解析向量的定義，可推廣到高維度。所以三維空間中分別在x軸、y軸與z軸上的向量，是相互線性獨立的。二維空間中分別在x軸與y軸上的向量，是相互線性獨立的。直角座標系是一個最特殊也最簡單的例子。各軸上的單位向量稱為歸一正交基底向量，其組合稱為正交座標(直角座標)。
　　更一般的看，三維空間的三個相互線性獨的向量，即可以組成基底向量，故只要V[A]．(V[B]×V[C])不為零。一般都要進行歸一正交化的步驟，化成類似直角座標系之歸一正交基底向量。

君不見 2009-06-11巳時

Lorentz變換

　　仍假設Σ`(x`,y`,z`,t`)相對於Σ(x,y,z,t)以等速度v向x軸運動。由長度縮縮公式─L＝(1/γ)L`，令L`＝x`，即在Σ`測量之位置變換相對靜止，故測到的即是x`，而在Σ測量之位置則為x＝L＋vt＝(1/γ) x `＋vt。所以x `＝γ(x－vt)。所以在Σ`之觀點變成x＝γ(x `＋vt`)，所以t`＝(1/v) (x/γ－x `)，將x `＝γ(x－vt)帶入整理得到t`＝γ(t－vx/c^2)。所以Lorentz變換滿足：
x`＝γ(x－vt)
y`＝y
z`＝z
t`＝γ(t－vx/c^2)
而可由此解釋時間膨脹、長度縮縮與同時性的相對性。
　　以上討論，是由長度縮縮來簡單導出Lorentz變換，更一般的方法可將變換看成4×4的矩陣，由基本假設與一些性質，也可導出。

2009-06-05未時