古典物理的極限

　　之前在序論中有提過，此處將較詳細的說明。
　　十九世紀末，當時的學者認為物理已完全掌握，剩下的只是精密度的問題。但當時有些現象卻無法以理論來圓滿解釋，甚至完全無法解釋。
　　Rayleifh與Jean以電磁學諧振腔理論與估計系統可能狀態數目的方法，推導出Rayleifh-Jean黑體輻射公式：R(υ)＝(2πυ^2/c^2)kT，而在高頻率的時候竟然發散，造成與實際不符的紫外災難。Wien猜測出黑體輻射公式：R(υ)＝cυ^3exp(－hυ/kT)，但卻在低頻率時失效。
　　光電效應的實驗結果，發現沒有所謂的時間延遲，且無論光在如何微弱，只要高於一個稱為門檻頻率的臨界值後，都可打出光電子。這些古典理論都無法解釋。
　　Rutherford由α粒子撞擊金薄的實驗，提出的原子有核模型，但由電磁理論可知：加速的帶電粒子會因運動放出電磁波而減速。所以電子很快的就會因失速而打在原子核上，即得到原子的生命是相當短暫的不合理結論。
　　由古典統計力學理論固體的比熱在低溫時為常數，但實際上卻不是常數，而是與絕對溫度的三次方成正比。
　　由以上的一些現象，當時的物理看來並不是那麼的完美。因而讓科學家懷疑是否還有未知的領域還沒有被發現。量子力學的觀念，在當時正逐漸的醞釀，準備萌芽。

電磁場強度二階張量

　　由古典電動力學可知：靜電學與靜磁學是等價的。由狹義相對論的第一個基本假設知：Maxwell方程與Lorentz力在任何慣性座標中皆成立。所以，靜電場與靜磁場是相對論性的等價關係。即在一個慣性座標系中討論某一系統是靜電場作用，而在另一個慣性座標系中討論此系統是靜磁場作用。
　　由此可討論一個點電荷的運動所建立的電磁場。在與點電荷相對靜止的慣性座標系中，為Coulomb靜電場作用。在另一慣性座標系中，點電荷以等速度沿x軸運動。由此得到的結論與由Liénard-Wiechert電磁勢，考慮等速度時所求得的電磁場形式相同。
　　假設Σ`(x`,y`,z`,t`)相對於Σ(x,y,z,t)以等速度v向x軸運動。Σ`中的電磁場為V-E`與V-B`，Σ中的電磁場為V-E與V-B。其Lorentz變換為：
Ex`＝Ex，Ey`/c＝γ(Ey/c－βBz)，Ez`/c＝γ(Ez/c＋βBy)。
Bx`＝Bx，By`＝γ(By＋βEz/c)，Bz`＝γ(Bz－βEy/c)。
　　更一般的情況，可以考慮一個反對稱的二階逆變張量T(μν,)。二階逆變張量有以下性質：μ＝ν時，T(μμ,)＝0；μ≠ν時，T(μν,)＝－T(νμ,)。
T(μν,)滿足：T(μν,) `＝a(μ,_α) a(μ,_β) T(αβ,)。即
T(01,)`＝T(01,)，T(02,) `＝γ[T(02,)－βT(12,)]，T(03,) `＝γ[T(03,)＋βT(31,)]。
T(23,)`＝T(23,)，T(31,) `＝γ[T(31,)＋βT(03,)]，T(12,) `＝γ[T(12,)－βT(02,)]。
　　如選擇T(01,)＝－Ex/c，得到T(μν,)定義為F(μν,)稱為電磁場強度二階張量。即F(00,)=F(11,)＝F(22,)＝F(33,)＝0；
F(01,) =－Ex/c=－F(10,)；F(02,) =－Ey/c=－F(20,)；F(03,)=－Ez/c=－F(30,)；
F(12,)＝－Bz＝－F(21,)；F(13,)＝By＝－F(31,)；F(23,)＝－Bx＝－F(32,)。
F(μν,)也可定義如下：
F(μν,)＝Dx(,μ)[A(ν,)]－Dx(,ν)[A(μ,)]，其中x(,μ)＝(ct,－V-r)，
A(μ,)＝(V/c,V-A)，V為純量勢，V-A為向量勢。
　　如選擇T(01,)＝－Bx，得到T(μν,)定義為G(μν,)稱為電磁場強度二階張量F(μν,)的對偶張量。即將Ei/c→Bi，Bi→－Ei/c得到對偶張量G(μν,)。
　　令J(μ,)＝(cρ,V-J)，連續性方程：▽．V-J＋Dtρ＝0，變成Dx(μ,)[J(μ,)]＝0。由A(μ,)＝(V/c,V-A)，Lorentz規範：▽．V-A＋1/c^2DtV＝0，變成Dx(μ,)[A(μ,)]＝0。
　　由F(μν,)與G(μν,)，Maxwell方成可表示成：
Dx(ν,)[F(νμ,)]＝μ0 J(μ,)
Dx(ν,)[G (μν,)]＝0。
　　Dx(ν,)[F(νμ,)]＝μ0 J(μ,)，當μ＝0，有Dx(ν,)[ F(ν0,)]＝μ0 J(0,)，得到Dx(0,)[F(00,)]＋Dx(1,)[F(10,)]＋Dx(2,)[F(20,)]＋Dx(3,)[F(30,)]＝0＋Dx[Ex/c]＋Dy[Ey/c]＋Dz[Ez/c]＝▽．V-E/c＝μ0 cρ，所以有：▽．V-E＝μ0 c^2ρ＝ρ/ε0，即Gauss定律。
當μ＝1，有Dx(ν,)[ F(ν1,)]＝μ0 J(1,)，有Dx(0,)[F(01,)]＋Dx(1,)[F(11,)]＋Dx(2,)[F(21,)]＋Dx(3,)[F(31,)]＝0＋Dt[－Ex]/c^2＋Dy[By/c]＋Dz[－Bz/c]＝μ0 Jx，所以[－1/c^2 DtV-E＋▽×V-B]x＝μ0 Jx。同理由μ＝2與3，可得－1/c^2 DtV-E＋▽×V-B＝μ0V-J，即Maxwell-Ampère定律。
　　Dx(ν,)[G (μν,)]＝0，當μ＝0，有Dx(ν,)[G (0ν,)]＝0，得到Dx(0,)[G (00,)]＋Dx(1,)[G (01,)]＋Dx(2,)[G (02,)]＋Dx(3,)[G (03,)]＝0－[Dx[Bx]＋Dy[By]＋Dz[Bz]]＝0，所以有：▽．V-B＝0，即磁Gauss定律。
當μ＝1，有Dx(ν,)[G (1ν,)]＝0，得到Dx(0,)[G (10,)]＋Dx(1,)[G (11,)]＋Dx(2,)[G (12,)]＋Dx(3,)[G (13,)]＝Dt[Bx]/c＋0＋Dy[Ez/c]＋Dz[－Ey/c]＝0，所以1/c[Dt[V-B]＋▽×V-E] x＝0。同理由μ＝2與3，可得Dt[V-B]＋▽×V-E＝0，即Faraday定律。

相對論運動學

　　由先前對動量與能量之討論，可以建立相對論運動學。現考慮兩個靜止質量m速度3c/5的兩黏土，在x軸上相互碰撞，並結合在一起。由動量守恆知：結合後的黏土靜止。由能量守恆知：結合後黏土質量為5m/2比2m大。質量並不守恆。因為多餘的能量化成了質量，所以相對論中的能量守恆，其實是質能守恆。
　　而在Newton力學中，此為完全非彈性碰撞，多餘的能量應化成熱能，造成黏土之溫度上升。在相對論，認為此熱能為微觀黏土分子之動能與為能之總變化，由此表現在巨觀的黏土整體的溫度上升，即碰撞後靜止之黏土，溫度應比碰撞前的高。然而一旦真的達到可估算的能量，此時之黏土早就已經蒸發了！在考慮基本粒子之作用時，將可以明顯的發現此一效應。
　　另一個例子為Compton散射。考慮高能光子和金屬碰撞打出電子後之波長變化。因為光子能量高出電子束縛能許多，故可將電子近似看成靜止。由能量守恆：hυ＋mc^2＝hυ`＋[m^2c^4＋p^2 c^2]^1/2與動量守恆：(h/λ)V-ek＝(h/λ`)V-ek`＋V-p，可以求出波長變化Δλ＝λ`－λ＝2λc(1－cosθ)，其中θ為入射光方向與散射光方向之夾角；λc＝h/mc稱為Compton波長。

相對論中的動量與能量

　　令Σ中為V-u＝dV-r/dt，Σ`中為V-u`＝dV-r`/dt`，分別得到Σ與Σ`看某事件之速度。由x(μ,) `＝a(μ,_ν) x(ν,)，取為分符號得到dx(μ,) `＝a(μ,_ν) dx(ν,)，可求出兩座標速度的關係。
　　定義原時或固有時為：與事件相對靜止時所測得之時間變化。記為dτ，為不變量。即dτ＝[1－(u/c)^2]^1/2dt＝[1－(u`/c)^2]^1/2dt`＝不變量。由原時可定義原速度或固有速度：V-η＝dV-r/dτ＝(dV-r/dt)dt /dτ＝V-u /[1－(u/c)^2]^1/2。令η(μ,)＝dx(μ,) /dτ，η(μ,)滿足Lorentz變換，即η(μ,) `＝a(μ,_ν)η(ν,)。
　　相對論中的動量定義為：V-p＝m V-η＝m V-u /[1－(u/c)^2]^1/2，可稱m(u)＝m/[1－(u/c)^2]^1/2為相對質量。能量定義為：E＝mc^2/[1－(u/c)^2]^1/2＝m(u) c^2＝mcη(0,)。E與V-p滿足：E^2＝m^2c^4＋p^2 c^2。
　　可令p(μ,)＝mη(μ,)＝(E/c, V-p)，p(μ,) 滿足Lorentz變換，即p (μ,) `＝a(μ,_ν) p (ν,)。

四維向量

　　此處要介紹四維向量之概念。四維向量，即英文的four-vector。維狹義相對論中所引入之概念。由Lorentz變換知：(ct`)^2－(x`)^2－(y`)^2－(z`)^2＝(ct)^2－(x)^2－(y)^2－(z)^2＝不變量。有類似向量的性質。所以可以定義(x,y,z ,ict)或(ct, ix,iy,iz)，直接類比成四維Euclid空間。
　　而一般也常以(ct, x,y,z)與(ct,－x,－y,－z)來討論。將第一組稱為一階逆變張量x(μ,)＝(ct, V-r)，第二組稱為一階協變張量x(,μ)＝(ct,－V-r)，有時也選為x(,μ)＝(－ct, V-r)。所以有x(μ,)x(,μ)＝(ct)^2－(x)^2－(y)^2－(z)^2＝不變量。
　　在以後的討論，選擇以一階逆變張量x(μ,)＝(ct, V-r)與一階協變張量x(,μ)＝(ct,－V-r)來描述，此在討論原時(proper time)時相當方便。
　　定義x(μ,)＝(x(0,), x(1,), x(2,), x(3,))＝(ct,x,y,z)，所以Lorentz變換變成：
x(0,)`＝γ(x(0,)－βx(1,))
x(1,)`＝γ(x(1,)－βx(0,))
x(2,)`＝x(2,)
x(3,)`＝x(2,)
簡記為x(μ,) `＝a(μ,_ν) x(ν,)，由Einstein求和約定對ν求和。