相對論運動學

　　由先前對動量與能量之討論，可以建立相對論運動學。現考慮兩個靜止質量m速度3c/5的兩黏土，在x軸上相互碰撞，並結合在一起。由動量守恆知：結合後的黏土靜止。由能量守恆知：結合後黏土質量為5m/2比2m大。質量並不守恆。因為多餘的能量化成了質量，所以相對論中的能量守恆，其實是質能守恆。
　　而在Newton力學中，此為完全非彈性碰撞，多餘的能量應化成熱能，造成黏土之溫度上升。在相對論，認為此熱能為微觀黏土分子之動能與為能之總變化，由此表現在巨觀的黏土整體的溫度上升，即碰撞後靜止之黏土，溫度應比碰撞前的高。然而一旦真的達到可估算的能量，此時之黏土早就已經蒸發了！在考慮基本粒子之作用時，將可以明顯的發現此一效應。
　　另一個例子為Compton散射。考慮高能光子和金屬碰撞打出電子後之波長變化。因為光子能量高出電子束縛能許多，故可將電子近似看成靜止。由能量守恆：hυ＋mc^2＝hυ`＋[m^2c^4＋p^2 c^2]^1/2與動量守恆：(h/λ)V[ek]＝(h/λ`)V[ek`]＋V[p]，可以求出波長變化Δλ＝λ`－λ＝2λc(1－cosθ)，其中θ為入射光方向與散射光方向之夾角；λc＝h/mc稱為Compton波長。

2009-07-27辰時

相對論中的動量與能量

　　令Σ中為V[u]＝dV[r]/dt，Σ`中為V[u`]＝dV[r`]/dt`，分別得到Σ與Σ`看某事件之速度。由x(μ,)`＝a(μ,_ν) x(ν,)，取為分符號得到dx(μ,)`＝a(μ,_ν) dx(ν,)，可求出兩座標速度的關係。
　　定義原時或固有時為：與事件相對靜止時所測得之時間變化。記為dτ，為不變量。即dτ＝[1－(u/c)^2]^1/2dt＝[1－(u`/c)^2]^1/2dt`＝不變量。由原時可定義原速度或固有速度：
V[η]＝dV[r]/dτ＝(dV[r]/dt)dt /dτ＝V[u ]/[1－(u/c)^2]^1/2。令η(μ,)＝dx(μ,) /dτ，η(μ,)滿足Lorentz變換，即η(μ,)`＝a(μ,_ν)η(ν,)。
　　相對論中的動量定義為：V[p]＝m V[η]＝mV[u] /[1－(u/c)^2]^1/2，可稱m(u)＝m/[1－(u/c)^2]^1/2為相對質量。能量定義為：E＝mc^2/[1－(u/c)^2]^1/2＝m(u) c^2＝mcη(0,)。E與V[p]滿足：E^2＝m^2c^4＋p^2 c^2。
　　可令p(μ,)＝mη(μ,)＝(E/c, V[p])，p(μ,) 滿足Lorentz變換，即p (μ,)`＝a(μ,_ν) p (ν,)。

2009-07-24辰時

四維向量

　　此處要介紹四維向量之概念。四維向量，即英文的four-vector。維狹義相對論中所引入之概念。由Lorentz變換知：(ct`)^2－(x`)^2－(y`)^2－(z`)^2＝(ct)^2－(x)^2－(y)^2－(z)^2＝不變量。有類似向量的性質。所以可以定義(x,y,z ,ict)或(ct, ix,iy,iz)，直接類比成四維Euclid空間。
　　而一般也常以(ct, x,y,z)與(ct,－x,－y,－z)來討論。將第一組稱為一階逆變張量x(μ,)＝(ct, V[r])，第二組稱為一階協變張量x(,μ)＝(ct,－V[r])，有時也選為x(,μ)＝(－ct, V[r])。所以有x(μ,)x(,μ)＝(ct)^2－(x)^2－(y)^2－(z)^2＝不變量。
　　在之後的討論，選擇以一階逆變張量x(μ,)＝(ct, V[r])與一階協變張量x(,μ)＝(ct,－V[r])來描述，此在討論原時(proper time)時相當方便。
　　定義x(μ,)＝(x(0,), x(1,), x(2,), x(3,))＝(ct,x,y,z)，所以Lorentz變換變成：
x(0,)`＝γ(x(0,)－βx(1,))
x(1,)`＝γ(x(1,)－βx(0,))
x(2,)`＝x(2,)
x(3,)`＝x(2,)
簡記為x(μ,)`＝a(μ,_ν) x(ν,)，由Einstein求和約定對ν求和。

2009-06-30申時

關於張量

　　張量是向量的推廣。由張量的分量表示，可定義張量的階數。零階張量即一般純量，一階張量即向量，有一階協變與一階逆變二形式。由二維斜角座標系來看起，可對一階協變與逆變的有幾何上的感覺。二階以上的張量，有協變、逆變與混變等形式。一般常以分量形式表示張量，其優點是可很快知道張量的階數與形式，雖以向量表示較簡潔，但無法很快得知張量的階數與形式。
　　將兩個向量並在一起，可得到一個二階張量，此二向量稱為並向。此在物理上也常碰到，常以分量來表示，以向量表示為V[A]V[B]。而此不表示所有二階張量皆可表示成二向量的並向。
　　張量間的內積作用稱為縮並。以下看並向張量的內積。對二階張量V[A]V[B]與向量V[C]之內積有二種：V[C]．V[A]V[B]＝(V[C]．V[A])V[B]與V[A]V[B]．V[C]＝V[A](V[B]．V[C])。二階張量V[A]V[B]與二階張量V[C]V[D]之內積有二種：V[A]V[B]··V[C]V[D]＝(V[B]．V[C])(V[A]．V[D])稱為串積與V[A]V[B]：V[C]V[D]＝(V[A]．V[C])(V[B]．V[D])稱為並積。
　　張量的物理意義需看所討論的系統而定，有時數學上，簡單可推導出的結果，但不易看清其物理上的意義，也可能不具有任何意義。張量有時真的會感覺很難。或許是不夠熟悉，更多情況是很難直觀了解。

君不見 2009-06-20申時

向量積分學

　　向量積分學中最常見的有Gauss散度定理與Stokes定理。前者為∫▽．V[F] dV＝∮V[F]．dV[S]，表示V[F]之散度在空間中某一區域R之體積分等於V[F]對區域R之封閉邊界曲面S的面積分(穿過S的總通量)。後者為∫▽×V[F]．d V[S]＝∮V[F]．dV[r]，表示V[F]之旋度在空間中某一曲面區域之面積分等於V[F]對此區域之封閉邊界曲線c的線積分(在c上之環流量)。
　　當V[F]在原點為奇異點時，封閉曲面積分可化成立體角之積分，此時Gauss散度定理不成立，而物理上常以δ函數來描述，使Gauss散度定理依然成立。當V[F]在原點為奇異點時，封閉曲線積分可化成純角度之積分，此時Stokes定理不成立。在Stokes定理中，如▽×V[F]＝0，且積分區域不含奇異點，則∮V[F]．dV[r]＝0，此時積分[∫a~b]V[F]．dV[r]只和給定的兩點a、b有關，跟此二點間的路徑無關(一般此積分與路徑有關)，且此時V[F]可表成某個純量函數的梯度，即V[F]＝▽Φ。
　　最後看Helmholtz唯一性定理：如V[F]滿足▽．V[F]＝D與▽×V[F]＝V[C]，純量函數D與向量函數V[C]給定，如D與V[C]在r趨近於無限遠時，比1/r^2更快趨近於零，且V[F]在r趨近於無限遠時，也比1/r更快趨近於零，則V[F]有唯一解：－▽U＋▽×V[W]，其中U＝(1/4π)∫D(V[r`])/| V[r]－V[r`]|dV`，V[W]＝(1/4π)∫V[C](V[r`])/| V[r]－V[r`]|dV`，對整個空間作積分。

君不見 2009-06-15申時