關於應用數學

　　在工程數學(或應用數學)中，最重要的核心在解微分方程。所以一般都由基本的微分方程理論討論起。再看級數解、數值分析簡介與特殊函數論。接著討論Laplace積分變換、Fourier級數與Fourier積分變換。並著重積分變換在解微分方程之運用。
　　應數中之矩陣理論，運用重點也在解微分方程。接著簡單介紹非線性系統與一些簡單結論。再看差分學與變分學的內容，與其在解微分方程之運用。
　　向量分析、複變理論與偏微分方程理論算是較獨立的內容。向量分析在物理上的運用相當廣泛。而複變理論使一些在實數中討論的數學理論有更深入的意義，且在求定積分上有重要的運用。偏微分方程理論，應該是應數中最複雜的了！除了先前學過的觀念與其推廣外，還有許多解偏微分方程中會使用的新觀念與工具。而向量分析在物理上的運用，其實有時就是要解偏微分方程。

君不見 2009-10-31申時

量子世界

　　量子力學中，描述粒子運動之物理量成了算符(Hermite算符)，波動方程描述的是機率的時間演化。粒子本身已完全無法掌握，由測量之方式，可體現出波動性或粒子性之其中一種，即粒子有波動與粒子二重性。
　　兩個相同的粒子，是不可分辨的，即全同粒子之觀念。而全同粒子可分成兩類：費米子與波色子。討論角動量時，發現到粒子有內在的角動量，稱為自旋角動量。對特定的粒子，自旋角動量是一定的。
　　由量子力學之相位之研究，古典電磁學中之向量勢V[A]與純量勢V是有物理意義的，即Aharonov-Bohm效應。
　　分析角動量相加時，Einstein等提出EPR悖論，意外引出了自旋糾纏態，開啟了量子訊息的研究。

2009-09-29子時

熱力學與統計力學

　　熱，與人息息相關的物理概念，由最初火的使用，到現在的能量使用。由實驗分析與研究巨觀可觀測量所得到的結論，就是熱力學理論。理論本身不去問現象的本質與內在。
　　熱力學有四個重要的定律。熱力學第零定律：即熱平衡定律，說明兩個熱平衡的系統，有相同溫度。熱力學第一定律：即能量守恆定律。熱力學第二定律：熵增原理。熱力學第三定律：絕對零度不可達到原理。
　　熱力學中重要的觀念為溫度的定義與熱力學定律的證明與各種等價詮釋。其中有些邏輯推導與現象的描述，不易想像其正確性與合理性。觀念是可證明的或只能由實驗給出的，容易混淆與迷失。數學式的物理意義是否真能掌握與了解，甚至運用。
　　而統計力學則試圖由分子運動學，由微觀的方法，引入系綜觀念與機率來分析與研究熱現象。當微觀物理量取統計平均後，將回到熱力學的結論。

2009-09-16申時

量子觀點

　　1901年Planck由能量量子化假設，成功解釋了黑體輻射能譜，開啟了量子力學的研究。而Einstein利用Planck的能量量子化觀念，提出光量子(光子) ，成功解釋了光電效應。Bohr並利用角動量量子化等假測，提出Bohr原子模型，且解釋了Rutherford的原子模型。並提出對應到古典情況的Bohr對應原理。之後de Boglie根據Einstein的光量子假設，寫下de Boglie的物質波假設，認為粒子也應該有波的性質。
　　Planck的能量量子化假設、Einstein的光量子假設、de Boglie的物質波假設，加上對應原理與量子化法則，形成了量子論。但其內容並不完整，並且缺乏重要的運動方程。
　　在Schrödinger寫下著名的Schrödinger方程之後，開啟了量子力學的研究。當時有Schrödinger的波動力學與Heisenberg的矩陣力學，Schrödinger之後還證明了兩者是等價的。而當時的學者對矩陣較不熟悉，故對波動力學較為親切。之後Dirac以更抽象與更一般的形式表示出來，成為現在討論量子力學最常用的詮釋方式。
　　當時以為Schrödinger方程的解描述的即是粒子本身的運動，但隨著時間演化後，竟然會膨脹造成了不合理。而Max Born提出其實Schrödinger方程描述的是發現粒子機率的運動方程。Born的機率詮釋，讓整個理論架構核心明顯的確定下來。形成了現在的量子力學。
　　量子力學的建立，除了帶動物理本身的發展外，進一步也帶動其他科學領域之發展與應用。相對論雖幾乎由一己之力完成的，但仍是屬於古典理論，與之不同的量子力學是近代許多有名的科學家共同努力的有別於古典的新理論，但此二者都是近代物理中重要的理論基礎。

2009-08-27巳時

古典物理的極限

　　十九世紀末，當時的學者認為物理已經完全的掌握了！剩下的只是精密度的問題，但當時仍有些現象，無法以當時的理論來圓滿解釋，甚至可能連解釋也無法解釋。例如：
　　Rayleifh與Jean以電磁學諧振腔理論與估計系統可能狀態數的方法，推導出Rayleifh-Jean黑體輻射公式，此公式在高頻率時發散，與實際不符，此即有名的紫外災難。Wien猜出的黑體輻射公式，卻在低頻率時失效。即由古典理論無法整體解釋黑體輻射能譜。
　　光電效應的實驗結果發現沒有所謂的時間延遲，且無論光如何微弱，只要高於一個稱為門檻頻率的臨界值後，都可打出光電子。這些實驗結果，完全無法由古典理論解釋。
　　Rutherford利用α粒子撞擊金箔的實驗，提出原子有核模型，由古典電磁理論知：加速的帶電粒子會因運動放出電磁波而減速。所以電子很快的就會因失速而打在原子核上，即得到原子的生命是相當短暫的不合理結論。
　　由古典統計力學理論，固體的比熱在低溫時為常數，但實際上卻不是常數，而是與絕對溫度的三次方成正比。
　　由以上的一些現象可知，當時的物理理論看來並不是那麼的完美。因而讓科學家懷疑是否還有未知的領域還沒有被發現。量子力學的觀念，逐漸的醞釀，準備萌芽。

2009-08-10子時
2009-08-26申時改